Didaktische Überlegungen

Die Astroide

Eine Hypozykloide ist diejenige Kurve, die vom Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser Kreis ohne zu gleiten auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt. Hypozykloiden lassen sich beispielsweise mit einem Spirograph zeichnen.
Das Gegenstück zu den Hypozykloiden bildet die Familie der Epizykloiden. Die Kurve, die vom Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser Kreis ohne zu gleiten auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt, heißt Epizykloide.

Die Astroide ist eine Kurve aus der Familie der Hypozykloiden.

Je nach Verhältnis m der Radien des festen und des rollenden Kreises entstehen unterschiedliche Hypozykloiden.

A = Radius des festen Kreises
a = Radius des rollenden Kreises
m = A/a.

Hypozykloiden:
Für m=2: A=2a: Die Kurve ist der Durchmesser des festen Kreises
Für m=3: Die Kurve besitzt 3 Zweige
Für m=4: Die Kurve besitzt 4 Zweige. Sie ist eine Astroide.

Im Zusammenhang der Garagentoraufgabe stellt die Astroide eine von Geraden gebildete Hüllkurve dar (Animation als Java-Applet).

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• Kenntnisse aus der Koordinatengeometrie: Geradengleichungen, Geradenscharen, Schnittpunktberechnung
• anschaulicher, aber fundierter Begriff des Grenzwertes
  Das Problem ist zu kompliziert als dass der Grenzwert hieran erarbeitet werden könnte.
• evtl. Ableitungsbegriff

Auf Grund dieser Voraussetzungen ist das Projekt etwa gegen Ende der 11.2 durchführbar, beispielsweise als Abschlussprojekt zur Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Ideen. Aus diesem Grund ist es auch in besonderer Weise geeignet zu Beginn der 12.1, um in neu gebildeten Kursen auf Bekanntem auzubauen und außerdem später in der Integralrechnung das Problem des "veschenkten" Raumes wieder aufzugreifen.

Vorausgesetzte DERIVE-Kenntnisse

• allgemeine Grundkenntnisse der Bedienung
• Gleichungen lösen
• Graphen zeichnen

Die Bedienung des Programmes DERIVE jeweils nach Bedarf während der Problemlösung einzuführen, halten wir für ungünstig, weil viele Einzeloperationen zur Lösung des Problems kombiniert und durchgeführt werden müssen. Dazu sollten die Schüler auf ein solides Grundwissen von Einzelmethoden in DERIVE zurückgreifen können. Außerdem wird hier erst spät ein wirkliches Ergebnis erreicht, so dass das Problem schnell unübersichtlich wird. Wollte man tatsächlich DERIVE erst mit dem Garagentorproblem einführen, müsste man die Schüle viel enger lenken sowie mehr Zeit für die Bearbeitung der Arbeitsblätter und für Integrationsphasen einplanen.
Daher könnten evtl. fehlende Kenntnisse besser in einer vorausgehenden Doppelstunde vermittelt werden.

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Lernziele/ Intentionen:

kognitive Lernziele

Die Schüler sollen

• die Einsatzmöglichkeiten unterschiedlicher Typen von Garagentoren ableiten, indem sie deren Vor- und Nachteile gegeneinander abwägen.
• ihre Kenntnisse aus der Koordinaten- sowie Elementargeometrie (Satz des Pythagoras) anwenden, um zu anschaulichen Teillösungen des Problems zu gelangen
• den bekannten Begriff des Grenzwertes vertiefen, indem sie ihn an diesem Beispiel in besonders anschaulicher Weise verwenden
• den Begriff der Hüllkurve erarbeiten, indem sie am konkreten Beispiel der Öffnung eines Garagentores eine Hüllkurve berechnen und zeichnen und anschließend ihre Vorgehensweise reflektieren.
• die neu erworbene Kompetenz im Parametrisieren und Zeichnen von Hüllkurven auf ein ähnliches Problem (Türgriffproblem) transferieren

methodische Lernziele

Die Schüler sollen

• vereinfachende Modellannahmen treffen und nach der Rückübertragung der mathematischen Lösung auf das Realproblem diese kritisch hinterfragen.
• über längere Zeit ein Problem konzentriert verfolgen und das Ziel im Auge behalten, auch wenn die Lösung aus vielen Teillösungen besteht, indem sie zwischendurch ihren Fortschritt reflektieren und die weitere Vorgehensweise planen.
• ihre Entscheidungsfähigkeit vertiefen, welche Arbeitsteile ein Computer übernehmen kann, indem sie ihn als Rechenknecht für umfangreiche und langwierige Berechnungen sowie zur graphischen Veranschaulichung nutzen.
• die Einsicht in die Notwendigkeit korrekter mathematischer Syntax vertiefen, da ein Rechner keinen noch so kleinen Fehler verzeiht.
• ihre Kompetenzen im Umgang mit neuen Medien insbesondere mit dem CAS DERIVE erweitern.

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Durchführung

Als Sozialform bei Arbeiten mit dem Computer bietet sich schon aus organisatorischen Gründen die Partnerarbeit an. In den meisten Schulen ist nicht für jeden Schüler ein Computer vorhanden, bei mehr als 2 Schülern pro PC kann aber häufig nicht jeder die Tastatur bedienen und den Bildschirm gut einsehen. Die einmal gebildete Paarkonstellation sollte während des gesamten Projekts unverädnert bleiben, um ein Anknüpfen an zuvor Erarbeitetes nicht zu erschweren. Günstig ist es, die Schüler so zu mischen, dass Schüler mit Computererfahrung mit solchen ohne derlei Kenntnisse zusammen arbeiten.

Zwischen den dominierenden Arbeitsphasen am Rechner sind auch Intgrationsphasen mit Unterrichtsgesprächen und Präsentationsphasen mit dem Beamer vorgesehen, um eine Sicherung zu gewährleisten sowie schwächeren Schülern eine neue Gelegenheit zur Weiterarbeit zu bieten.

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Literatur

• Grabinger, Benno: Vom Garagentor zur Astroide. In: Der Mathematikunterricht 43, 2 (1997). S. 23-37.
• Schroedel: Elemente der Mathematik.
• PH Freiburg: Von Autos, Scheibenwischern und Fahrrädern. http://www.ph-freiburg.de/mathe/pr_geo/autos.htm.
• Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik, Uni Bayreuth: Geonet - ausführliche Beispiele. http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/beispiele.html.
• Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt 1995.

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