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"Fraktale und Chaos" ist
ein Thema, das erst in den Neunziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts in
den Blickpunkt der Mathematikdidaktik gerückt ist, auch wenn ihre
Anfänge im 19. Jahrhundert liegen. Es ist ein
faszinierendes Thema, das in den Lehrplänen nicht direkt intendiert ist und
sich durch seine vielen Facetten deshalb besser zur Projektarbeit eignet.
Geometrische Aspekte,
Rekursionen und Iterationen bis hin zu Anwendung komplexer Zahlen (Fraktal
Apfelmännchen) können angesprochen werden, d.h. auch Teilaspekte dieser
mathematischen Gebiete können angegangen werden. Dabei dient die Schönheit
von Fraktalen zur Motivation und lädt zum Nachkonstruieren an. Darüber
hinaus hat die Geometrie der Natur ein fraktales Gesicht (Benoît B.
Mandelbrot nach P. Fatou und G. Julia ein Vorreiter der fraktalen
Geometrie), d. h. in bestimmten Formen der Natur entdeckt man Fraktale, so dass man bestimmte Formen (Farnblatt, Nautilusmuschel,
Sonnenblume, Brokoli,
Baum) und dann Naturphänomene (Chaostheorie) mathematisch
beschreiben kann.
Mit Hilfe des Logarithmus können gebrochene
Dimensionen von Fraktalen bestimmt werden.
Bedingt durch die Komplexität der Phänomene bietet sich
zur Darstellung von Fraktalen und zur Untersuchung rekursiver und iterativer
Prozesse der Einsatz des Computers an. Dabei kann man auch relativ elementar
"chaotisches" Verhalten mit Iterationen graphisch und rechnerisch mit der
quadratischen Funktion f(x) = ax(1-x) darstellen (Attraktoren und Chaos).
Die dabei entstehenden Phänomene zeigen sich im Fraktal
Feigenbaum (a
zwischen 1 und 4). Zeichnerisch und rechnerisch einfach beschreibbar sind Fraktale wie das
Sierpinski-Dreieck,
Hilbert-Kurve oder die
Schneeflocke bzw.
Schneeflockenkurve. Kreativität
und Handlungsorientierung zeigt sich in der Konstruktion eigener Fraktale
durch die Schüler, sei es in elementaren Zeichnungen oder selbst erstellten
Computerprogrammen. Sierpinski-Dreieck und Schneeflocke wiederum führen auf
gebrochene Dimensionen, Anwendung des Logarithmus oder Anwendung von
konvergenten und divergenten geometrischen Reihen. Man sieht, wie viele
mathematische Gebiete von der Sekundarstufe I bis zur Sekundarstufe II angesprochen werden können.
Die Chaostheorie kommt
erst in der Sekundarstufe II voll zum Tragen. Klarer als bei Peitgen,
Jürgens und Saupe kann es gar nicht formuliert werden:
1. Zahlreiche Phänomene der Naturwissenschaften sind trotz strengem
naturwissenschaftlichem Determinismus prinzipiell nicht prognostizierbar.
2. Es gibt jedoch Struktur im Chaos, die sich bildlich in den phantastischen
komplexen Mustern - den oben genannten Fraktale - ausdrückt. Die fraktale
Geometrie liefert eine Palette von Begriffen und Messverfahren, die
Komplexität des Chaos aufzudecken. (Siehe Schmetterlingseffekt).
3. Meist leben Chaos und Ordnung nebeneinander und der Übergang von Ordnung
ins Chaos folgt strengen Fahrplänen. |
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Unterrichtskonzepte entnehme man der angefügten Literaturliste und Projekten
der Mathe-AG Köln.
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Henn, H.-W.
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Fraktale - einmal
anders
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PM
33 H.4
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1991,8 S.
170-177
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Fraktale, Anwendung,
Software
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Neidhardt, W.
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Monster-Kurven
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DdM 18 H.3
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1990,3 S. 183-209
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Fraktale, Anwendung,
Software
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Otte, G.
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Projekt "Apfelmännchen"-
Graphische Darstellung mit komplexen Zahlen
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PM
30 H.6
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1988,9 S.
345-355
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Fraktale,
Apfelmännchen, Software
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Schmidt, O.
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Verallgemeinerte
Mandelbrot- und Julia-Mengen
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PM
39 H.2
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1997,4
S.60-67
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Fraktale,
Apfelmännchen, Software
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Dormayer, P.
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Chaos bei der
Feigenbaumabbildung f(x)=4x(1-x)
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DdM 19 H.3
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1991,3 S.207-220
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Fraktale, Chaos,
Anwendung
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Peitgen, H.-O. u.a.
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Chaos - Iteration,
Sensivität, Mandelbrot-Menge
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Klett
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1992 Stuttgart
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Fraktale, Chaos,
Anwendung, Lehrbuch
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Bayer, W.
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Katzen auf Zypern
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PM
45 H.1
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2003, 2
S. 44-47
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Fraktale, Chaos,
Einführung
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Behr, R.
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Fraktale und Chaos
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C+U 14
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1994,14 S. 4-8
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Fraktale, Chaos,
Einführung, Didaktik, FS
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Bigalke,
H.-G
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Chaostheorie und
Fraktale - Geometrie im Mathematikunterricht
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MNU
49 H.1
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1996,1
S.40-52
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Fraktale, Chaos,
Einführung, Geometrie, FS
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Stender, P.
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Die Feigenbaumanalyse -
ein Unterrichtsgang für die Analysis in der Oberstufe
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MU 44 H.2
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1998,3 S. 30-52
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Fraktale, Chaos,
Feigenbaumdiagramm, SHA
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Peitgen, H.-O. u. a.
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Chaos -Bausteine der
Ordnung
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Springer/Klett-Cotta
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1994, Berlin
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Fraktale, Chaos,
Grundlagen
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Zeitler, H.
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Chaostheorie - Was ist
das?
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PM
33 H.2
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1991,4 S.
49-54
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Fraktale, Chaostheorie,
Einführung
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Wissemann-H., C.
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Zur Einführung - Chaos,
Fraktale, Dynamische Systeme
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MU 35 H.5
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1989,9 S.3-4
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Fraktale, Chaostheorie,
FS
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Henn, H.-W.
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Das Schneeflockenland
und andere Fraktale
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MU 35 H.5
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1989,9 S. 43-61
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Fraktale, Dimension,
Anwendung
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Kerler, E.
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Fraktale Strukturen
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PM
30 H.5
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1988,7
S.262-273
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Fraktale, Dimension,
Anwendung
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Pleitgen, H.O. u.a.
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Fraktale
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MU 35 H.5
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1989,9 S.4-19
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Fraktale, Dimension,
Anwendung
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Peitgen, H.-O. u.a.
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Fraktale -
Selbstähnlichkeit, Chaosspiel, Dimension
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Klett
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1992 Stuttgart
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Fraktale, Dimension,
Anwendung, Lehrbuch
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Henn, H.-W.
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Fraktale und
Zufallsfolgen
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PM
35 H.5
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1993,10
S. 193-199
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Fraktale, Dimension, Anwendung, Software
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Behr, R.
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Ein Weg zur fraktalen
Geometrie
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Klett
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1991 Stuttgart
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Fraktale, Einführung
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Mandelbrot, B. B.
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Die fraktale Geometrie
der Natur
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Birkhäuser
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1991 Basel
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Fraktale, Einführung,
Anwendung
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Behr, R.
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Fraktale - Formen aus
Mathematik und Natur
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Klett
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1993 Stuttgart
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Fraktale, Einführung,
Anwendung, Natur
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Lerbinger, K. u.a.
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Faszination Fraktale
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Systhema
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1992 München
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Fraktale, Einführung,
Software
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Heigl, A. |
Fraktale im Mathematikunterricht |
Aulis |
1998
Köln |
Fraktale, Einführung, Arbeitsblätter |
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Walser, H.
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Folgen sehen
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ML H.96
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1999, S. 47-50
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Fraktale, Folgen,
Handlungsorientierter U, Projekt, Jg. 9-10 |
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Rößling, R. |
Ein Satz mit natürlichen Zahlen |
C+U
14 |
1994,14 S. 14-17 |
Zahlen, Fraktale, Selbstähnlichkeit, Kl. 5 |
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Mathematik und Schule
Einführung
in das Thema Fraktale und Chaos
